El método de la bisección es un método de búsqueda de raíces que funciona dividiendo el intervalo por la mitad y seleccionando siempre el subintervalo con la raíz.
Este método nos será útil para resolver ecuaciones como $e^x = 1 +x$. Este tipo de ecuaciones no se pueden resolver fácilmente de manera analítica. En este caso, utilizaremos este método de aproximación iterativo para intentar encontrar una solución.
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Teorema del valor intermedio (TVI)
El método de la bisección aparece como consecuencia del teorema del valor intermedio el cual establece que cualquier función continua toma todos los valores que se hallan entre $f(x_{inicial})$ y $f(x_{final})$.
Sea $a, b \in \R$ tales que $f(a)$ y $f(b)$ tengan signos opuestos. Entonces, sabemos con certeza que debería existir un valor 0 intermedio tal que $f(x) = 0$.
Esto nos asegura que encontraremos al menos una solución a la ecuación $f(a)= 0$.
Condiciones previas para utilizar el Método de la Bisección
- La función $f(x)$ deberá ser continua en el intervalo $[a, b]$ sobre el que deseamos aplicar el teorema.
- El intervalo $[a, b]$ deberá verificar que $f(a) \cdot f(b) < 0$. O lo que es lo mismo, tomaremos $a, b$ tales que $f(a)$ y $f(b)$ tengan signos opuestos. En caso contrario procederemos como sigue.
El método
- Calcularemos el punto medio $m$ del intervalo $[a, b]$.
- Evaluaremos la imagen de la función en el punto $f(m)$:
- Si el valor es $0 \rightarrow$ ya hemos encontrado la raíz
- Si el valor de $f(m) \cdot f(a) < 0 \rightarrow $ continuaremos con el intervalo $[a, m] $
- Si el valor de $f(m) \cdot f(a) > 0 \rightarrow $ continuaremos con el intervalo $[m, b] $
Elegiremos siempre el intervalo en el que se produzca un cambio en el signo. Con este nuevo intervalo iremos, sucesivamente, acotando la solución en intervalos más pequeños hasta que alcancemos la precisión deseada.
Ejemplo
Como vemos en este caso, utilizando derivadas y el método de la bisección encontraríamos que $x=0$ es la solución. Con la representación gráfica podemos comprobarlo.
Para determinar el número de iteraciones necesarias para aproximar el cero de, por ejemplo, $f (x) = x sen(x) -1 $ con una exactitud de $10^{-2}$ en el intervalo $[0,2]$, se debe hallar un número $n$ tal que:
\begin{align*} |c – c_n| \leq \frac{b-a}{2^n} \le 10^{-2} \rightarrow \frac{2-0}{2^n} \le 10^{-2} \text{ con } n = 7.643 \end{align*}
Se necesitarán, por tanto, aproximadamente unas 8 iteraciones.
En la primera iteración $f(x_0) = 1.114157141$, mientras que la $f(x_8) = 1.1171875$. Como vemos, el error real es $|f(x_0) – f(x_8)| \simeq 3 \cdot 10 ^{-3}$. Normalmente, la formula anterior siempre aproxima superiormente, por lo que necesitaremos menos iteraciones $|f(x_0) – f(x_7)| = 0.004782141 \le 10^{-2} = 0.01$.
Algoritmo
Conclusiones
El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si $f$ es una función continua en el intervalo $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$, entonces este método converge a la raíz de $f$.
Tiene la desventaja de ser un poco mas lento a la hora de converger, es decir, necesita un $n$ grande para que el error $|f(x_0) – f(x_n)|$ sea más pequeño, pero nos permite conocer siempre la cota de precisión. Este método se suele recomendar para aproximar el cero de una función y luego refinarlo por medio de otros métodos que pueden requerir valores de entrada cercanos al $0$.
En caso de que existieran múltiples raíces este método podría ser inválido ya que la función podría no cambiar de signo en los puntos situados cerca de sus raíces. En este caso sería más conveniente trabajar con los datos de la derivada $f ‘ (x)$ y una gráfica nos vendría genial para aclarar la situación.
Recordar que resolver una ecuación en una variable como $e^x = \frac{1}{x}$ equivale a resolver la ecuación $x \cdot e^x – 1 = 0$ que nos permite aplicar un método de aproximación a su raíz.